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函数与基本初等函数之函数的基本性质

2.函数的基本性质

?课标解读:

  内容标准:掌握函数单调性、奇偶性的概念、判断方法和图像特征。

  行为目标:1. 理解函数的单调性,学会运用函数单调性的定义来判断函数的单调性、最值及其几何意义;

            2. 结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.

?考纲精析:考纲要求:理解函数的单调性及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.

            命题热点:1. 函数单调性的判断及其应用是函数的核心内容之一,是高考考查的热点。近几年常以导数为工具研究函数的单调性,并以解答题得形式考查。

                      2.函数奇偶性的判断及其应用是高考考查热点,常与函数的单调性、最值结合考查,以选择、填空题居多。

?学情分析:重点:函数的单调性的概念和判断某些函数的增减性的方法;函数的奇偶性及图像特征。

            难点:函数单调性的判断或证明;函数奇偶性的判断。

            关键:综合应用不等式、因式分解、配方法及数形结合等思想方法;

?高考真题:

1. (2010江苏卷)11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是__ ___。

[解析] 考查分段函数的单调性。 

2(2010北京文数)给定函数① ,② ,③ ,④ ,期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是

(A)①②   (B)②③    (C)③④    (D)①④

答案:B

3(2011安徽理3) 设 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 

 (A)         (B)        (C)1      (D)3

【答案】A

【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题.

【解析】 .故选A.

4.(2011湖北理6)已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 

 ,若 ,则 

A.        B.       C.        D.  

【答案】B

【解析】由条件 , ,即

 ,由此解得 , ,

所以 , ,所以选B.

?基础过关

1.(2011福建理9)对于函数  (其中, ),选取 的一组值计算 和 ,所得出的正确结果一定不可能是                              

 A.4和6  B.3和1  C.2和4  D.1和2

【答案】D

2.(2011福建理10)已知函数 ,对于曲线 上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:                                                 

 ①△ABC一定是钝角三角形

 ②△ABC可能是直角三角形

 ③△ABC可能是等腰三角形

 ④△ABC不可能是等腰三角形

 其中,正确的判断是

 A.①③   B.①④   C.②③   D.②④

【答案】B

3.(2011广东理4)设函数 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是  

A. +|g(x)|是偶函数                B. -|g(x)|是奇函数

C.| | +g(x)是偶函数               D.| |- g(x)是奇函数

【答案】A

【解析】因为 g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而 +|g(x)|是偶函数,故选A.

4.(辽宁文6)若函数 为奇函数,则a=                         

 A.      B.         C.        D.1

【答案】A

5.(全国Ⅰ理2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是                   

(A)    (B)     (C)    (D)   

【答案】B

6. (全国Ⅰ理12)函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于     (A)2           (B) 4         (C) 6          (D)8

【答案】D

7. (全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x 0),则=                   

   (A)        (B) 

(C)  (D) 

【答案】B

8.(全国Ⅱ理9)设 是周期为2的奇函数,当 时, ,则 

(A)            (B)          (C)           (D) 

【答案】A

【命题意图】:本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。

【解析】 。

9.(山东理10)已知 是 上最小正周期为2的周期函数,且当 时, ,则函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为

(A)6    (B)7     (C)8      (D)9

【答案】A

【解析】因为当 时,  ,又因为 是 上最小正周期为2的周期函数,且 ,所以 ,又因为 ,所以 , ,故函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为6个,选A.

10.(陕西理3)设函数 ( R)满足 , ,则函数 的图像是                                                          (  )

【答案】B

【分析】根据题意,确定函数 的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.

【解析】选由 得 是偶函数,所以函数 的图象关于 轴对称,可知B,D符合;由 得 是周期为2的周期函数,选项D的图像的最小正周期是4,不符合,选项B的图像的最小正周期是2,符合,故选B.

11.(上海理16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间 上单调递减的函数是(   )

(A) .     (B) .     (C) .     (D) .

【答案】A

12(2010江西理数)给出下列三个命题:

①函数 与 是同一函数;

②若函数 与 的图像关于直线 对称,则函数 与 的图像也关于直线 对称;

③若奇函数 对定义域内任意x都有 ,则 为周期函数。

其中真命题是

A. ①②       B. ①③         C.②③        D. ②

【答案】C

【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性常识。考虑定义域不同,①错误;排除A、B,验证③,  ,又通过奇函数得 ,所以f(x)是周期为2的周期函数,选择C。

13(2010重庆理数)函数 的图象

A. 关于原点对称   B. 关于直线y=x对称  C. 关于x轴对称  D. 关于y轴对称

解析:    是偶函数,图像关于y轴对称

14(2010山东文数)设 为定义在 上的奇函数,当 时, ( 为常数),则 

(A)-3       (B)-1          (C)1               (D)3

答案:A

15(2010北京文数)若a,b是非零向量,且 , ,则函数 是

   (A)一次函数且是奇函数      (B)一次函数但不是奇函数

   (C)二次函数且是偶函数      (D)二次函数但不是偶函数

答案:A

16(2010天津文数)下列命题中,真命题是

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

【答案】A

【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题。当m=0时,函数f(x)=x2是偶函数,所以选A.

【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。

17(2010广东理数)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则

A.f(x)与g(x)均为偶函数              B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数              D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

D. .

18(2010广东文数)若函数 与 的定义域均为R,则

A.  与 与均为偶函数     B. 为奇函数, 为偶函数

C.  与 与均为奇函数     D. 为偶函数, 为奇函数

解:由于 ,故 是偶函数,排除B、C

19(2010山东理数)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= +2x+b(b为常数),则f(-1)=

(A) 3             (B) 1              (C)-1                (D)-3

【答案】D

20.(四川理16)函数 的定义域为A,若 且 时总有 ,则称 为单函数.例如,函数 =2x+1( )是单函数.下列命题:

①函数 (x R)是单函数;

②若 为单函数, 且 ,则 ;

③若f:A→B为单函数,则对于任意 ,它至多有一个原象;

④函数 在某区间上具有单调性,则 一定是单函数.

其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号)

【答案】②③

【解析】对于①,若 ,则 ,不满足;②实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;对于③,若任意 ,若有两个及以上的原象,也即当 时,不一定有 ,不满足题设,故该命题为真;根据定义,命题④不满足条件.

21.(上海文14)设 是定义在 上,以1为周期的函数,若函数 在区间 上的值域为 ,则 在区间 上的值域为_________        

【答案】 

22.(上海理13) 设 是定义在 上,以1为周期的函数,若函数 在区间 上的值域为 ,则 在区间 上的值域为_________           . 

【答案】 

23.(湖南文12)已知 为奇函数, _________.

【答案】6

【解析】 ,又 为奇函数,所以 。

24.(广东文12)设函数 若 ,则  _________.

【答案】-9

25(2010重庆理数)已知函数 满足: , ,则 =_____________.

解析:取x=1 y=0得 

法一:通过计算 ,寻得周期为6

法二:取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)

      联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故 =f(0)=  

26. (2010福建理数)已知定义域为 的函数 满足:对任意 ,恒有 成立;当 时, 。给出如下结论:

①对任意 ,有 ;②函数 的值域为 ;③存在 ,使得 ;④“函数 在区间 上单调递减”的充要条件是 “存在 ,使得

 ”。

其中所有正确结论的序号是                。

【答案】①②④

【解析】对①,因为 ,所以 ,故①正确;经分析,容易得出②④也正确。

【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础常识是解答好本题的关键。

27 . (2010江苏卷)设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函数,则实数a=_______▲_________

[解析]考查函数的奇偶性的常识。g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。

28.(天津文16)设函数 .对任意 , 恒成立,求实数 的取值范围.

【答案】 .

【解析】解法1.显然 ,由于函数 对 是增函数,

则当 时, 不恒成立,因此 .

当 时,函数 在  是减函数,

因此当 时, 取得最大值 ,

于是 恒成立等价于  的最大值 ,

即 ,解 得 .于是实数 的取值范围是 .

解法2.然 ,由于函数 对 是增函数,则当 时, 不成立,因此 .

 ,

因为 , ,则 ,设函数 ,则当 时为增函数,于是 时, 取得最小值 .

解 得 .于是实数 的取值范围是 .

解法3.因为对任意 , 恒成立,所以对 ,不等式 也成立,于是 ,即 ,解 得 .于是实数 的取值范围是 .

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