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函数与基本初等函数之函数及其表示

 1.函数及其表示

·课标解读:

  内容标准:通过大量的例子让学生用对应的观点来理解函数,用映射的观点理解函数。

  行为目标:1. 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。

            2. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。

            3. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。

·考纲精析:考纲要求:了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念; 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数;了解简单的分段函数,并能简单应用。

            命题热点:1.以考察函数的概念、三要素及表示方法为主.

                      2.分段函数是近几年高考考查的热点。

·学情分析:重点:在映射的基础上理解函数的概念;对函数图象的分析。

            难点:对函数符号f(x)的理解;通过函数的解析式分析函数的图象。

            关键:通过大量的例子让学生用对应的观念来理解函数,用映射的观念理解函数;列表、描点、连线,动手作图,总结规律。

·高考真题:

例1(1)函数 的定义域为(    )

(A)[-4,1]              (B)[-4,0)

(C)(0,1]                (D)[-4,0)∪(0,1]

(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域.

解析: (1)本题是判断函数的定义域,实际上是求使函数解析式有意义的x的集合,先列出不等式(组),然后再解不等式(组),求出解集;(2)注意在对应法则f下,函数f(2x+1)中2x+1 的范围与函数f(x)中x的范围相同.

解答:(1)选D.

要使 有意义,则有:

 x≠0

 -x2-3x+4≥0 ,

解得:-4≤x<0或0<x≤1.

所以所求函数的定义域为[-4,0)∪(0,1].

(2)∵函数f(2x+1)的定义域为(0,1),

∴1<2x+1<3,

∴f(x)的定义域为(1,3).

例2试判断以下各组函数 是否表示同一函数?

(1)f(x)= ,g(x)= ;

(2)f(x)= ,g(x)=

(3)f(x)= ,g(x)=( )2n-1(n∈N*);

(4)f(x)= ,g(x)= ;[来源:学科网ZXXK][来源:学*科*网Z*X*X*K]

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。

解:(1)由于f(x)= =|x|,g(x)= =x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数;

(2)由于函数f(x)= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)= 的定义域为R,所以它们不是同一函数;

(3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,

∴f(x)= =x,g(x)=( )2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;

(4)由于函数f(x)= 的定义域为{x|x≥0},而g(x)= 的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数;

(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数

注:对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数 若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然。

例3(1)已知 ,求 ;

(2)已知 ,求 ;

(3)已知 是一次函数,且满足 ,求 ;

(4)已知 满足 ,求 ;

解:(1)配凑法:∵ ,

∴ ( 或 );

(2)换元法:令 ( ),则 ,

∴ , ;

(3)待定系数法:设 ,

则 ,

∴ , ,

∴ ;

(4)方程组法:    ①

把①中的 换成 ,得    ②,

① ②得

∴ 。

提醒:因为函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是使表达式有意义的x的取值,一定要注明函数的定义域,否则会导致错误.

·基础过关

1.(北京理6)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为 (A,c为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品时用时15分钟,那么c和A的值分别是(     )

A. 75,25                    B. 75,16          C. 60,25             D. 60,16

【答案】D

【解析】由条件可知, 时所用时间为常数,所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数,即 , ,选D。

2.(福建文8)已知函数f(x)=,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于(     )

       A.-3    B.-1    C.1    D.3

【答案】A

3.(广东文4)函数 的定义域是   (     )                       

A.     B.          C.     D.

【答案】C

4.(广东文10)设 是R上的任意实值函数.如下定义两个函数 和 ;对任意 , ; .则下列等式恒成立的是(     )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

5.(江西文3)若 ,则 的定义域为  (     )

    B.     C.     D.

【答案】C    

【解析】

6.(江西理3)若 ,则 定义域为(     )

A.        B.       C.     D.

【答案】A

【解析】由 解得 ,故 ,选A

7.(辽宁理9)设函数 ,则满足 的x的取值范围是(     )

       A. ,2]       B.[0,2]   C.[1,+ ]       D.[0,+ ]

【答案】D

8.(浙江理1)已知 ,则 的值为(     )

A.6                B.5               C.4               D.2

【答案】B

9.(陕西文11)设 ,则 ______.

【答案】

【分析】由 算起,先判断 的范围,是大于0,还是不大于0,;再判断 作为自变量的值时的范围,最后即可计算出结果.

【解析】∵ ,∴ ,所以 ,即 .

10.(陕西理11)设 ,若 ,则 _________.

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断,从 算起是解答本题的突破口.

【解析】因为 ,所以 ,又因为 ,

所以 ,所以 , .

【答案】1

11.(安徽文13)函数 的定义域是_______________.

【答案】(-3,2)【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法.

【解析】由 可得 ,即 ,所以 .

12(2010陕西文数)已知函数f(x)= 若f(f(0))=4a,则实数a=    .

解析:f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2

13.求下列函数的解析式:

(1)已知f=2,求f(x);

(2)已知f(x+3)=x2-2x+3,求f(x);

(3)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)=f(x)+2x,求f(x).

[解析] (1)∵f(x-)=2

=2+4,

∴令x-=t,∴f(t)=t2+4,

∴f(x)=x2+4.

(2)令x+3=t,∴x=t-3,

又f(x+3)=x2-2x+3,

∴f(t)=(t-3)2-2(t-3)+3=t2-8t+18,

∴f(x)=x2-8x+18.

(3)∵f(x)是二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

由f(0)=1,得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得

a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,

化简整理,得2ax+(a+b)=2x,

∴,解得,

∴f(x)=x2-x+1.

14.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并对任意实数x、y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.

[解析] 解法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),

令x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1),

即f(x)-x(2x-x+1)=1,

∴f(x)=x2+x+1.

解法二:令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1-y(-y+1).再令x=-y,代入上式得,f(x)=1-(-x)·(x+1)=x2+x+1,

∴f(x)=x2+x+1.

15.求函数f(x)=的定义域和值域.

[解析] 当0<x≤5时,y=4x,∴0<y≤20;

当5<x≤9时,y=20;

当9<x<14时,y=56-4x,∴0<y<20.

又∵(0,20]∪{20}∪(0,20)=(0,20],

∴函数f(x)的定义域为(0,5]∪(5,9]∪(9,14)=(0,14),

函数f(x)的值域为(0,20].

16.已知f(x)=,

(1)求f[f(-2)]的值;(2)若f(a)=2,求a的值.

[解析] (1)∵f(-2)=-2+5=3,

∴f[f(-2)]=f(3)=2×3=6.

(2)当a≤-1时,f(a)=a+5=2,∴a=-3;

当-1<a<1时,f(a)=a2=2,∴a=±(舍去);

当a≥1时,f(a)=2a=2,∴a=1.

综上可知a的值为-3或1.

17.已知函数f(x)的图象如图所示,求函数f(x)的解析式.

[解析] 当x∈[0,1]时,设f(x)=kx(k≠0),

将点代入,得=k,∴f(x)=x.

当x∈[1,2]时,设f(x)=ax+b(a≠0),将、(2,0)代入,得,解得a=-,b=3,

∴f(x)=-x+3.

∴f(x)=.

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